浙大首屆求是科學班選拔 不要「聽話」好孩子

星有1242347896900765478顆

行星有124875488765567890987567891顆

所有衛星總數有8766556787980897876587907879878顆

至於直徑20KM以上的沒有固定軌道的小行星則有9088079697568974568974578974984798987697821452顆

啥?不信?

「請證明大頭說的是錯的」那大頭就相信「宇宙內的星球是無限的」

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發揮一下"小學生"的求知熱忱....查一下萬事通"危機"百科，關於第一項恆星的數量有近似解:3x10(23次方)....則以下行星、衛星數量皆推理為不準確。其實若恆星殞滅頻率是以秒計，又怎麼有詳細數字呢?

宇宙會膨脹，動態的空間不易測量，先算算海邊的沙有多少吧!

這種首屆的選拔象徵意義比較大啦! 實際上呢...真是不可說的秘密!

回應50樓的

舉幾個例子來說：

(1) n趨近於無限大，則2n也會趨近於無限大，3n也會趨近無窮大。

(2) 一顆小石頭的凹凸不平處一直量下去，只要您的尺夠小，長度就可以一直地量下去，最後會趨近於無限大，當然，中石頭和大石頭道理都相同，並不是無限大的石頭才會量到無限大。

(3) 無限大有很多種，一種是慢慢跑到無限大的，一種是不快不慢跑到無限大的，一種是很快地跑到無限大的，還有飛快跑到無限大的，......

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+.....，這個級是是發散的，結果會趨近於無限大。

1+2+3+4+5+6+.....，這個級數也是發散的，結果會趨近於無限大。

2(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+.....)，也是無限大。

2(1+2+3+4+5+6+.....)，也是無限大。

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+.....，這也是無限大。

3^1+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+.....，這也是無限大。

以上，體會一下吧！

(像上面某一層樓的，就是不懂得"這些無限大"的抽象概念，而又以為自己懂了。....我猜，他應是還停留在用數的概念來思考無限大，所以一直都跳不出來，.....)

我們還是從石頭的問題先開始

妞爸的主張在於石頭上有很多的凹凸不平處

假設真的有無限多個凹凸不平

如何證明整體周長最後會收斂或發散 ?

我猜這需要一個好的模型

但同時產生的問題是

現實中的石頭 是否能完美用碎形或上述模型來解釋 ?

有這麼多不確定的因素下

似乎不宜做出太過武斷的結論或發言

(原作者於 2011-06-14 23:52:23 重新編輯過)

1. 所有的物質都是由分子所組成。(至少到今天為止都是這麼認為)。所以，只要妳有"足夠小"的尺，石頭(切面)的周長就能一直量測下去，......，若能量到比分子更小的單位時。

2. 如果您能接受(或證明)下列數列是發散，

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+.....

那麼，誰又會有足夠的理由推翻石頭的圓周用更小的刻度量測下去不會是發散的呢？

3.無限，只是個抽象的概念，它"不能用數的思維"來想它，所以，書上在講完無限的概念之後，會補上"趨近無限有的速度"之概念，....

無限大，它就是無限大，當有人會用 "2倍的無限大" 來想論述無限大時，思維就跑到無限大的概念圈圈之外了。

當我們在使用"足夠小"的尺時

或許可以一直測量下去

但也可能量到的值會越來越小

最終產生一個收斂的結果

就如同妞爸所舉例的

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+.....

是個發散數列

但或許您也知道

1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/6^2+.....

卻是個收斂數列 最終結果不是無限大

問題不在於能不能找到一個無限小的尺

而是能不能找到每次測量之間的關係

進而證明結果會趨向於收斂或發散

口試老師不就是要追問這些問題，從學生的回答的過程中，得知他有沒有科學家的特質，亦或是最多只有工程師的能力，這種題目，若有標準答案，在台灣成績好的學生，相信都會背了吧！

還有，尺，至少到目前為止是沒法找到，所以，只能靠"想像"，您若能想到收斂的理由，在還沒有被舉出反例，而又不能證明的成立之前，在科學的論證會暫時相信它是對的。反之，您若能提出會發散的理由，在還沒有被出反例，或被證明成立之前，科學的論證亦會暫時相信它是對的。

(原作者於 2011-06-15 09:21:51 重新編輯過)

呀~看樣子…樓上那篇，又是一篇句點了

不過…還是提一下

海邊的沙子是「無數多」，不是「無限多」

其實石頭不用凹凸不平，即使是完美球體的周長必然也是無限長，因為一維的直線是沒有寬度的，用沒有寬度的一維線段作為單位來量度二維的平面是會讓你永遠都在量的。

如果物理上真存有物質的或能量路徑的最小寬度，那就可以在實體世界中用來移除掉數學上直線沒有寬度這個公設，而有可能直接算出有限長度來，而且很簡單，只要用「長(要測得的長度)乘以寬(如果存在的最小寬度)等於面積(完美球體的表面積[這個條件完全是為了規避涉及介於二維和三維之間的無限大問題的產生])」就行了。

至於海岸線雖看似一維的測量問題，但卻會有無限大的問題發生，同時又不能用確實有限的二維平面的單位來代勞作為測量工具，所以需要一個不同於以往的尺度來作為測量之用。

既不是一維的單位長度(量出無限大)，也不是二維的單位面積(無法量，或直接說0就好了)，更不是三維的單位體積(更不能量，更可隨便說0)，這新工具的單位@@屬於怎樣的非整數維度，又如何能夠有效地做有意義的、可量度出有限數值的結果，可能是更根本的問題，而不是量尺的精密程度。

至於水分子可以分到什麼程度，我明天問一下小子再寫出來和大家分享。當然，我會先提醒他，盡量亂掰下去。

至少目前似乎達成了一個共識

海岸線這個問題是沒有標準答案的

重點在於討論或回答的整個過程

其實石頭的周長我覺得並不算是數學問題

因為放大到最後必然與物質的基本組成有關

這是到目前為止人類都還不太清楚的地方

數學的觀點比較嚴謹

無限大沒有模糊地帶

然而 無限大卻是數學觀念

在物理化學的領域裡 似乎不常看到無限大存在

另外

關於嘟嘟提出的

我不太懂您所說的完美球體是什麼

如果是數學上的球體

與任一切面所形成的圓 其圓周長應該不是無限大

如果是其他科學上的球體

那便與"完美"的假設有關

(原作者於 2011-06-16 08:43:21 重新編輯過)

完美球體就是數學上的球體，因為我在這裡只想處理介於1~2維度之間(也就是線與平面之間)的議題，無意再把2~3維度之間的問題扯進來，也就是因為能力不及，所以自己設定一下限制條件，好將問題限制在大家原本討論的議題。

至於【球體】的【周長】才是我說明的主題，詭異的東西，但總比1.5465456(1後面的數字是我用手亂抖出來的)維度的碎形好理解了。我並沒有嘗試回答[數學上的球體，與任一切面所形成的圓]這個問題，因為按照定義，答案永遠是0，不可能會有圓周長的問題要討論。

因為空間中球與平面存在三種可能的關係，分別是不相交、相交且截面為一圓、相切於一點。在相交時，可以進一步討論截圓的面積和圓周；至於相切於一點後，還能不能繼續討論周長問題，就不是我所能夠表達意見的了。