這個邏輯推理犯了一個錯誤…… 版爸您是以第二數（16）和第三數（256）歸納一個規則：8x2^（1×2-1）, 8x2^(2×3-1) 於是推衍出第四數: 8x2^(3×4-1)=16384 可是數列起始數8，並未符合您所列的規則： 8x2^(0×1-1)=8x2^(-1)=4 這項規則出現矛盾不符邏輯之處：4, 16, 256, 16384 請問版爸要如何解釋給小孩呢？
Jessy發表於2016-01-19 11:32:21
樓主可以再細看，我有說明那是「起始數字」。
以 16 來說，即是 8 x 2^(1x2-1)= 8 x 2^1
以 256 來說，即是 8 x 2^(2x3-1) = 8 x 2^5
(第一個位置的數字 8 是起始數字，用以推衍其後的數值。)
「起始數字」不一定只有第一個，有可能是前二個一組，甚至前三個一組。透過起始數字，可提供其後數字觀察出「重複性規則」。
先有「起始數字」，後有「重複性規則」，這是數列的基本前提。不然，像著名的費氏數列都要被質疑了，不是嗎？這也是我在一開始那幾樓先解釋數列是怎麼定義/設計的原因。
在很快就會看到帶著計算機進考場的未來愈來愈覺得孩子們在學習上不只是反覆的演算訓練而是邏輯、推演的加強版主所提出的是一個等差的小遊戲究其數學天地實在浩瀚博大每個年齡階段都有不同的玩數學而且愈到高年級益發覺得語文的重要才能看得懂題意
阿緹蜜絲發表於2016-01-19 11:32:44
的確是這樣，所以我很強調看懂數字/算式與實體語意的對應，這對剛開始接觸數學的小孩是很重要的，而不是死背公式、狂練題型。題型只是幫助小孩去瞭解他自己哪些地方沒通，通了就好，沒必要狂練。
數列的變化豐富，設計可淺可深(不是只有等差，那是最簡單的例子)，可以套用小孩各階段所學的數學知識加以設計。3樓那例子(0、1、4、15、64、___)，用的只是中年級的數學知識，樓主可以試試。
小孩數學不好，基本上二個大方向可以去追，一個是觀念不通，另一個就是語意不通。我教小孩國語功課也是要求他們要學會字詞的定義，面對數學應用題時才不會因看不懂文字而錯想錯寫。
我教的一個小孩，他的學校每學期末都會辦跳蚤市場，他的攤位是玩抽抽樂。這個小孩已經能夠全程規畫、執行，舉凡研究消費市場喜好、上網採買物品、設計遊戲規則，並能分析成本、中獎分布情況(機率問題他已有整體的概念)、預估利潤、事後檢討…，他現在五年級，但他從小就由淺入深去瞭解整個流程相關細節。
誰說數學只能坐在教室、只能用同一套方式學習呢？
a_n = (n - 1)(n - 2)(n - 3) + 128(n - 1)(n - 2) + 4(n - 2)(n - 3) - 16(n - 1)(n - 3) a_1 = 8 a_2 = 16 a_3 = 256 a_4 = 734 : : b_n = 2(n - 1)(n - 2)(n - 3) + 128(n - 1)(n - 2) + 4(n - 2)(n - 3) - 16(n - 1)(n - 3) b_1 = 8 b_2 = 16 b_3 = 256 b_4 = 740 : : 應該不用我再寫了吧？ 規則不是出題者說了算！ 這種不嚴謹的題目，玩玩可以，但不要太相信補習班老師的說辭，而覺得它有多重要
thepiano發表於2016-01-19 13:08:09
樓主舉的例子太好了，給你鼓掌+灑花！謝謝樓主讓大家認識不同的重複性規則的設計。
如果家裡的小孩在國小就能擁有樓主有這麼邏輯性的分析能力，相信每個家長都鬆一口氣了，不用為小孩的功課擔心是多好的事。我也好希望自己的小孩天生聰明、舉一反三，都不必大人操心。
可否請樓主也分享，樓主是如何擁有這些能力？從小無師自通，完全沒有涉略過學校課程外的學習(才藝班/補習班)？或者在學校裡就有相關的教學？在數學這方面是經過多少年的紮根才能練出這種直觀反應？我想這可以提供家長們不同面相的的參考。這是每個家長都想知道的…。
一、這篇以「分享」為名，是想與大家分享個人教小孩的經驗。
二、這篇的重點不是要談數學高深理論(在座如果有數學專業碩博士，恭喜你，你贏了)。
這篇是要以小孩子在學校所學的程度為前提，透過不同的教學形式讓小孩對該階段所學的數學知識有更深刻的認識與發想。
身為家長，哪個不知道 1+2+3+…+999=(1+999)x999/2=499500，不過是套用公式，是吧！
但是，我們擔心的，不就是小孩認為學數學就是一個直接套公式填鴨死背的過程嗎？矛盾嗎？
試想，如果你面對的是中低年級小朋友，你如何用他們的程度理解 1 到 999 的累加結果？
你想直接用公式塞給小孩，還是給小孩另一個機會，讓他體驗另一種認識組合的方法？
真要功利到極點，我們可以直接下結論「長大後又用不到數學，何必去學它？」。
教他們解題技巧不是我的目的，引導他們用其現有的程度，從不同的角度去觀察這個世界的規律與主動探求各種發展的可能性才是我在做的方向。
但是，這要有所本，有所根據，小孩的發展才能日見有功。若所有事都能天馬行空，那當初清朝的義和團應該就能打垮洋槍洋砲了。可是，事實呢？
1+2+3+…+9=? 中低年級的小孩可以學。家長幾乎不會懷疑。
1+2+3+…+99=? 中低年級的小孩可以學。有家長開始懷疑了嗎？
1+2+3+…+999=? 中低年級的小孩可以學。很多家長開始懷疑了吧？
最簡單的，一個一個處理，從頭加到尾，為何不行？理由很多：太麻煩了、太浪費時間、……。
中低年級已經開始認知「單位」這個概念了，他們在課本裡一定看過十元、百元這種單位。
1+2+3+4+5+6+7+8+9
9+8+7+6+5+4+3+2+1
--------------------------
10+10+10+10+………+10
原式做個處理，以十元當計量單位，接下來的家長就知道怎麼帶了，就只是簡單的數堆、分堆而已。
99、999，都一樣的道理，只是需要家長去運用小孩在學校所學的知識而已。這只是各種引導法的其中一個例子，中低年級的小孩學不少了，家長可以運用其中的知識去引導小孩，而且，不用刻意超前學校進度！
教他們背梯形公式的確不是中級年級的進度，所以我沒用。你看到我用的只是加法而已。誰說這個年紀的小孩不能瞭解「連續整數和」的概念？自己不想教/不想引導，不表示小孩沒能力瞭解。
引導他們用其現有的程度，從不同的角度去觀察這個世界的規律與主動探求各種發展的可能性才是我在做的方向。
我們捫心問自己一件事，希不希望自己的小孩想得更深更廣？希不希望自己的小孩看事情的角度能夠有更多的視角去發掘不一樣的面向？如果你有時間、你有教學資源，你願不願意讓小孩去接觸？
玩數學推理有很多方式，拿一本簡易的智力測驗就有數列和圖形的遊戲 可能比較符合中低年級小學生的思考訓練…… 數列的重複規則在一些奧數題目都有，可是太艱澀的題型並不適合用來學推理 http://edu.people.com.cn/BIG5/9254924.html 版爸提及「要以小孩子在學校所學的程度為前提，透過不同的教學形式讓小孩對該階段所學的數學知識有更深刻的認識與發想。 」，還有「引導他們用其現有的程度，從不同的角度去觀察這個世界的規律與主動探求各種發展的可能性才是我在做的方向。 」 這是很好的觀念！ 可是家長很習慣用自己的程度去引導小學生思考，卻往往不自知…… 例如：8, 16, 256, _ 當你用指數律和四則運算法則去尋找數列重複規則時， 恐怕超出小學生數學知識，這樣教數學推理就不太合適。
Jessy發表於2016-01-20 12:02:09
一、開樓那題是從閒聊專區搬來的(不是我設計的，原題應該也不是給國小用的)，我也覺得對國小小孩來說是進度超前了點，所以我才會在三樓另外設計一個給國小小孩用的。
開樓是引子，當然不適合直接要國小小孩玩，造成家長誤會，不好意思！
二、分享只是舉一個例子，引導的方式多得很，坊間應該是找得到相關的書。
有一個觀念，我另寫一樓與各位分享，也謝謝 Jessy 提醒程度的問題。
呵呵，你在上面舉的例子是 1 + 2 + 3 + ... + 999，怎麼到這裡就變簡單了? 1. 頭尾相加，能想到的小孩"比例"有多少?當年用這招的高斯可是數學王子啊 2. 這題頭尾相加後，還要除以 2，中年級的除法學到這麼大的被除數了嗎? 3. 簡單一點好了，像 1 + 2 + 3 + ... + 105 = ? 這種連續整數和的題目，你只用加法? 4. 別的老師不是不教，而是知道這不是中低年級小朋友該學的東西!
thepiano發表於2016-01-20 12:33:14
一、我在上面舉例過了，用百元當單位、用千元當單位，你不會引導這個年紀的小孩，不是我的問題。也許你是數學專業，但我就是有辦法針對各別小孩的狀況去引導他們。我佩服你的執著，我也不期待你的理解。這樣你滿意了嗎？ ^^
我帶小孩會視其狀況調整程度與內容，邏輯推理只是我分享的其中一個媒介，我也透過運動、自然、魔術、聲音、美術、透過各種小孩五官能接觸到的東西去引導他們的體感與思想空間，難不成你也要來一 一說這不是學校的進度？所以你也要來禁止我分享？如果你不能理解我分享的東西，你也可以自己開一篇分享給其他家長，這不是很好嗎？
二、你在 21 樓舉出的解法，你有辦法教懂中低年級的小孩嗎？你的目的是要教出百分百完全解題的小孩嗎？我已經說過我分享的目的，你硬是要牛頭不對馬嘴來討論，我搞不懂你。
三、「高斯想出來的絕妙點子，不能分享給小孩」這是你的論點？我的目的是引導小孩有不同的視野與思維彈性，培養他們主動思索的習慣，不是在選天才。高斯的點子，小孩聽得懂，你也禁止小孩接觸？
四、你的第3點的需求更令我不解？你都能想出 21 樓那些中低年級小孩想不出來的解法，卻不能在思惟上保持彈性？把 1 到 99 的部分先處理，再把 100 到 105 的部分陸續處理不就好了？加法可以分別計算這種彈性，中低年級教了，你不會運用，不是我的問題。
我猜，你一個是跟牛頓一樣的思考模式，他養了大、小二隻貓，所以他在牆上開了大、小二個洞分別要給這二隻貓出入。「堅持小貓一定要走小洞」與「堅持小孩一定只能跟著學校教法走」，很像吧？
硬是要把「連續整數和」這個概念與解法綁得那麼死，容不得小孩把所學的知識彈性運用，這是你的堅持。但很抱歉！那不是我分享的目的。
我們的訴求方向是不一樣的，這樣的解釋，你能理解了嗎？還是，你依然堅持大家得照著你的要求教小孩？
至於，中低年級的小孩能夠理解到什麼樣的數量，我另寫一篇分享。
1. 樓主說的邏輯推理, 我並未看到, 看到的只是解題技巧 2. 最好的邏輯推理訓練就是孩子自己思考, 以前念書時, 老師最常出的問題如下:一句敘述,對請證明,錯請舉反例 3. 所以個人認為對孩子的數學能力,最好的教導就是培養其思考的習慣:玩益智遊戲,更甚者,寫下自己思考的過程,可能比教導解題技巧來的好 4. 小孩的成長需要等待, 尤其是要保護其興趣
絳朱草發表於2016-01-21 09:06:54
樓主說的有理，引導的部分很重要：
一、開始當然是讓小孩自己想並自己解釋，看他的語氣、聽他的用句來瞭解他在學校所學的認知程度。
二、當小孩腦筋還轉不到那邊的時候，給一點提示讓他想想。
三、當小孩的想法偏掉時，丟一點問題讓他反思。
四、偶爾，我會故意丟一點錯誤訊息，來觀察小孩有沒有檢視條件的習慣。
如此不斷的循環、不斷的對話，學問、學問，我喜歡讓小孩學會怎麼問問題、怎麼從他的生活體驗裡去探討問題、怎麼從一個現象/條件看出背後缺少的那塊拼圖。
學會解決問題只是結果，那不是我分享的目的。
學會面對問題、學會將所學知識做連結、做調整配合，才是我想引導小孩的方向。
我帶的小孩一人一本厚厚的空白本子，腦想手寫口問答，再加上輔具(想得通就不必，想不通就針對他的狀況設計道具)。從以前只會直接說答案，慢慢的引導到他們現在可以有條有理去表達他們的想法、可以去檢視別人的條件並提出更合理論點，可以主動衍生出不同面向的問題再繼續分析討論…。
說到保持興趣這點，這些小孩從一開始有點排斥(因為不是學校功課)，到現在我得要求他們停下來不要花太多時間在那裡(小孩子功課寫完還是要運動、要出去跑跑跳跳、去接觸不同的事物，同時我也是刻意讓他們保持"飢餓感")。
顯然這些小孩願意主動去找材料思考的習慣是練起來了，所以，我分享給其他家長參考。每個小孩個性不同，家長自行評估要怎麼運用。
我提的分享例子當然不會適用還沒被引導到那個階段的小孩，但家長可以自行調整難易度，不是嗎？不用一直糾結在例子適不適合誰，自己的小孩自己清楚，自行調整就好。
我的重點在分享通則。與其我們大人在這裡針對個案說這行或這不行，何不家長們自己挑戰看看自己有沒有辦法用小孩的程度讓他們去玩？
我就是能讓他們玩得起來，才分享給各位參考嘛！
本內容涉及成人議題，未滿18歲不可瀏覽
